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Algunos apuntes para una utilización de las categorías en la física básica.

Tenemos una línea de tiempo(intuición tiempo), supuesta "continua" (intuición continuo?).


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{
\ar@{-}[rrrrr]^t & & & & & & &
}
\end{xy}


La representamos recta, pero nos da igual. Y daos cuenta, no tenemos aún ningún "modelo" para nuestro tiempo, sólo una línea que representa el continuo transcurrir de algo que llamamos tiempo. Bien, aquí estamos usando una "herramienta" bien sencilla, a superar, que es el papel o la pantalla. Luego, usamos el no tan sencillo cerebro y la pesada "tradición", que nos obliga a hacer las cosas así.

Para adelantar nuestro siguiente paso veamos que hemos pintado dos t's en la línea, como interrumpiéndola, y es que nuestro modelo para el tiempo va a involucrar que podemos hacer cierta "parada", podemos decir que cierta observación es relativa a un determinado punto de la línea, punto que en realidad es posible que nunca vaya a ser "un instante" puntual, que siempre fuera a ser un instante de naturaleza tanto puntual como linear, vamos, que fuera una microrrecta. Esto atañe a cómo modelamos el asunto en esta "categoría subjetiva" usada para modelar la "obvia" e inconfundible -en lo fundamental- "categoría" donde "cabe" esta línea "continua".

Ahora bien. Esta línea nosotros la usamos de cierto modo para representarnos las trayectorias de las cosas que se mueven "en el espacio", pongamos un plano. Esto es, hacemos cierta relación, flecha, morfismo "f", entre la línea de tiempo y alguna trayectoria del espacio, con lo que a cada instante le hacemos corresponder un "punto" del plano.


#!gnuplot
plot sin(x)


En principio hay algo de "física", pero no mucha, aquí, y nos va a costar meter más, pero adelante.

Por ahora sólo tenemos un tratamiento subjetivo de una categoría, en la que nos valen estos dibujos y no ha hecho falta mucho más para tener algo. Imagino que podemos forzar que se ajuste al concepto de categoría, definiendo que la composición sea posible entre morfismos... pese a no haber definido ningún modelo para nuestro tratamiento interno, el de cada "instante".

Ahora, cómo no, usemos los famosos números reales, y el único modelo de estos que la mayoría conocemos: los números reales a secas. Esto es, los números "ideales", que pueden tener infinitos decimales... etc.

Y digamos que el intervalo de tiempo lo numeramos con el 0 y el 1, y por tanto nuestra trayectoria pudiera ser el vuelo de un pájaro desde el instante 0 al 1...

Volvamos "atrás"

Pero un pájaro no es fácil de modelar físicamente de manera que nos permita indagar algo sobre "principios fundamentales de la física". Desde luego que no.

Pensemos, ¿qué es lo más fácil? tener poca cosa, y siendo radicales, pues nada, el vacío.

Sea entonces "el vacío". En él los pájaros no pueden volar, de hecho parece que explotarían. En él no hay moléculas de aire donde apoyarse, no hay casi nada (aunque es mucho para la física).

Ahora bien, sabemos una cosa que ha costado mucho tener clara, un hallazgo fundamental y que durante muchos siglos hubiera sido asombroso y escandaloso a veces el sólo proponerlo, (de las famosas leyes de Newton):

las cosas, allá lejos, en el espacio "vacío", lejos de esta "burrada" que se manifiesta aquí en la tierra, donde tenemos campos gravitatorios... magnéticos... una vez que no las aceleramos con ninguna fuerza... no las cogemos y las empujamos... etc, se mueven respecto a nuestro "sistema inercial", siempre, a no ser que no haya una causa que las haga parar o cambiar su estado de movimiento. Osea, si un móvil va a cierta velocidad pues va "para siempre". No cambia así porque sí.

Esto es, las cosas recorren espacios proporcionales a los tiempos invertidos en recorrerlos, pues siempre conservan su velocidad y esta es igual a espacio/tiempo.

   v = s/t

Así que si estamos allí arriba, nosotros, sin acelerar tampoco, con un reloj (!) y una cinta métrica (!), y medimos el espacio recorrido por un objeto cualquiera que pase cerca nuestro y que tenga un estado no acelerado, "normal", entre dos "instantes" de tiempo dados y apuntamos lo que nos ha dado, y luego si nos aceleramos -sin perturbar demasiado la marcha de nuestra víctima- y observamos el cuerpo más allá, y entre dos instantes diferentes, de manera que el tiempo que medimos sea (+ o -) el doble, es forzoso que con nuestra cinta midamos (+ o -) el doble de espacio recorrido.

Por lo menos tenemos algo "simple" con lo que empezar. No es muy bonito pero bueno, si nuestra enseñanza matemática fuera más profunda, divertida y categorial, otro gallo cantaría, estoy seguro.

Una relación que se dice lineal, que en el modelo monopolístico de los números reales siempre podemos poner con ecuaciones famosas como (en un plano en coordenadas ("cartesianas"):

 y = ax + b                          

Una ecuación lineal, "recta", que prescinde por ahora del tiempo.


#!gnuplot
plot x-2


Ahora bien, como dijimos, el cómo se recorrerán dichas trayectorias depende de qué móvil veamos, de su estado, de su velocidad...

(dibujo: dos gráficas como la anterior y con la misma distancia entre dos puntos marcados del recorrido pero recorrida en tiempos diferentes)

En la segunda el móvil iba más lento, pues ha recorrido el mismo espacio en 2 "segundos", mientras que el primero invirtió sólo 1 (suponemos -claro- que nuestro sistema de medida no cambia, reloj y cinta). Con lo que nuestro segundo dibujo es diferente ya no por la trayectoria en sí sino por cómo el móvil se ajustó a la misma.

Así que ya tenemos montado un buen batiburrillo, aunque esperamos que nos haga menos burrillos.

¿Qué más nos falta?

Ya suponemos que, dentro de nuestra chapuza en lo subjetivo conocemos algo sobre los números reales, de manera que no nos suenen demasiado raro esta expresión de s/t... cosas como 1/2... etc.

Suponemos que intuimos el tiempo continuo... El espacio continuo, etc, y -no lo hemos dicho- la "masa". Esto es, lo que vemos aquí, que cuerpos más "masivos" cuesta más moverlos... por tanto que cada cuerpo tiene un "parámetro" que caracteriza su "masa", que modelamos con un número en cierto sistema de unidades, por ejemplo:

         m = 1 kilogramo.

También nos creemos "la ley" de que las cosas no cambian su estado de movimiento si las observamos a su vez desde un estado de movimiento "apropiado", ahí fuera, sin "demasiadas interacciones"...

Nos falta imponer algunas cosas más o menos "lógicas" para el dichoso "vacío". Para ello volvamos a esto que hemos observado, tan curioso, lo de que nuestras dos trayectorias en el plano han sido diferentes pero sólo de cierta manera "interna".

Había quizá algo -pudiéramos decir- en nuestro móvil (móvil "m", que ya consideramos caracterizado por un parámetro de masa), que proviene de algo que a él le ha pasado o no le ha pasado antes, en un instante anterior a encontrarse con nosotros y que le hizo recorrer esta recta en menos tiempo en la primera de las ocasiones. A nosotros sólo nos hizo falta observar que efectivamente "iba libre", iba sin acelerar, era en sí otro "sistema inercial".

Esto es, nuestro móvil "tiene" algo, aparte de su "m".

Tampoco nos es muy difícil intuir que tiene algo que depende de la velocidad o al revés, que la velocidad depende de algo que el móvil "tiene", aparte de su "m".

Pero ahora observemos que en el espacio externo no hay ninguna dirección privilegiada, esto es, eso que le ha pasado al móvil para que viniera, tan correcto él, a una velocidad constante, lo mismo le pudiera haber ocurrido de forma que viniera con otra inclinación... Así que no necesitamos mucho más que un número, la velocidad, del que no nos importa su dirección... su "signo", nada más que "cuánta" tiene. Para ello en matemáticas tenemos el concepto de "módulo" de un número real, que es el número pero sin el signo,

                       |-4'1234239| = 4'1234239

Y que operativamente es fácil conseguir haciendo primero "el cuadrado", esto es (el signo '^' quiere decir "elevar al cuadrado, y (-1)·(-1) = + 1 = 1 )  :

(-x)·(-x) = (-1)·x·(-1)·x = (-1)·(-1)·x2 = (+1)·x2 =

= x^2

Por las propiedades de nuestro modelo de los números reales. Además, por las mismas, podemos calcularlo así (Sqrt es la raíz cuadrada):


#!latex
\sqrt[2]{|x|} 

}

O el de "módulo de un vector", si necesitamos observar las direcciones, (el vector por ejemplo podemos decir que es esto, un número y una dirección partiendo de un "cero", 0, que elegimos de una vez para siempre en algún sitio:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{
0\ar[rrrrr] & & & & & & &
}
\end{xy}


El número es la distancia entre la cola y la punta, y la dirección es la que elijamos: 30º noreste... etc. En este caso es 0º este, lo cual nos facilita enormemente en la presentación mínima de matemáticas que tenemos, calcular su módulo, pues no necesitamos más que mirar su longitud que en este caso es 3'2.

En el caso de un vector nos vale esta fórmula anterior:


#!latex
\sqrt[2]{x{^2}} = |x|


Aunque no explicitamos qué quiere decir x^2 en el caso de los vectores, es multiplicar coordenada a coordenada.

¿Pero a qué viene esto de los vectores? Pues sí, realmente nos hemos complicado demasiado si sólo tenemos la situación de aquella recta recorrida con diferentes velocidades. La velocidad tiene la misma dirección, así que no nos hacía falta decir nada más que el que su magnitud "en cada instante" de recorrido en la trayectoria era la misma, tenía el mismo módulo, o por qué no, el mismo cuadrado, ya que haciendo el cuadrado eliminanos la única arbitrariedad en ese caso, el que fuera de abajo hacia arriba por la recta o al revés, de arriba hacia abajo, su "sentido".

Pero ocurre que empezamos a hablar de ello porque queríamos algo general y fundamental, y por ello hablamos de las propiedades del espacio, de que ahí arriba no podría importar a la partícula cómo se le hubiera hecho aquello que la hizo llegar a nosotros en el estado X tal que recorría, delante de nuestros ojos, la distancia s en el tiempo determinado t. O tampoco importaba cómo nosotros mismos hubiéramos alcanzado nuestro estado inercial de movimiento, que nos permitiera a su vez observar a una partícula apropiada describir esas rectas apropiadas. Por ello necesitamos ajustar las cosas, y decir que el número candidato bien puede ser la velocidad al cuadrado: v^2 (o el módulo, pero elegimos el cuadrado).

Así que en nuestro modelo hay, aparte de la masa, un número que caracteriza a la partícula, en cierto sentido "interno", que llamaremos "Energía Cinética" y denotaremos T, y que definimos por las siguientes operaciones que sacamos de la chistera:

  T = (1/2)·m·v^2

Entendiendo que la masa es la de la partícula que lleva la velocidad v, y que estas operaciones "las hacemos para cierto instante". Lo que en nuestro caso ahora no importa, ya que la velocidad, por la ley que hemos visto, no cambia a no ser que haya algo que lo motive (y nuestra observación no es tan importante, no tenemos la suficiente masa para atraerla... etc.).

Así que ya hemos llegado a nuestro "objetivo".

De las mínimas "observaciones físicas" a nuestra disposición tenemos una "función" que va de cada instante, (punto de la trayectoria) hacia los números, y caracteriza en cierto modo cómo puede ser el movimiento.

Fijarse ahora en las posibilidades. Perfectamente pudiéramos tener la situación en que la partícula recorriera la trayectoria "recta" que pintamos arriba, pero que lo hiciera con cierta aceleración, esto es, con velocidad variable (continuamente variable). Esto es lo que ocurre bajo los efectos de un campo gravitatorio como el que hay en la Tierra, las partículas pueden recorrer aparentes "rectas" pero están siendo aceleradas sin "trompicones", cuando caen hacia la Tierra, cerca de su superficie, aproximadamente por la constante "g", sea cual sea su altura (aproximamos por g sea cual sea la altura, ya que varía poco dicha constante.).

Pero en el espacio no hay tal cosa. Podemos tener "rectas" pero todas estarán recorridas por partículas con velocidades constantes (nuevamente insistamos: si las observamos a su vez con un "buen" estado de movimiento.).

En el espacio, si no hubiera más cosas, nos basta imaginar las posibles trayectorias mediante la fórmula de T. Si os dáis cuenta con ella y una vez situados en algún sitio sin acelerar -osea, que parece que estamos parados y que son los móviles los que se mueven- damos cuenta de todas las posibles masas 'm', y de todas las posibles "velocidades", y en este mundo sin campos gravitatorios ni electromagnéticos no tenemos más. Todos los "mundos" vienen descritos con una y sólo una fórmula posible.

Así que nuestra "categoría subjetiva", con estas observaciones físicas tiene la siguiente presentación.

Vete al espacio y sitúate en un sitio tranquilamente, osea, déjate llevar. No notarás nada, a no ser que vayas extraordinariamente rápido te parecerá que todo lo que ves es lo que se mueve (si hay algo, que lo dudo), y que tú estás quieto. Vale, pero no te tienes que haber olvidado de llevar una cinta y un reloj. Ahora esperas a ver si tienes suerte y alguna partícula, no muy extensa, no muy grande, pasa cerca de ti, para hacer cosas parecidas a lo que hemos esbozado. Esto ha sido que más o menos podíamos asignar a las partículas diferentes situaciones en según qué instantes (nuestro reloj es nuestro reloj y lleva marcado un tiempo concreto y seguido, si quieres eliges "el cero" cuando pase la primera partícula.). Ahora será difícil apañárselas pero te las tienes que apañar para medir tiempos y espacios de lo que se te vaya presentando.

Así que te has ido de la Tierra con algunas intuiciones: masa, tiempo, espacio, números reales... y bajas a la Tierra con una cosa clara: caracterizar en cada instante a las partículas por la función T no es una tontería, pese a que empiecen las dos por 't'. Y no lo es porque en el espacio no importa la dirección, sólo el módulo, y porque la velocidad en cada punto nos dice mucho de una partícula, más allí, donde es casi lo único, ya que no es fácil ver acelerar a los móviles, no están naturalmente acelerados por la gravedad.

No importa el modelo que tengamos para los números que asignamos al tiempo, la masa, el espacio... sabemos que más allá de él hay una "regla" de asignación, un morfismo, que lleva de la trayectoria hacia algo (que en nuestros casos es los números), pero que esa regla de asignación caracteriza perfectamente la trayectoria. Esto es, llamemos T a esa regla: nuestra categoría subjetiva queda "tocada" por las leyes y características de lo físico diciendo que sólo son posibles ciertos objetos a los que a su vez podamos aplicar T. Parece poco pero si nos ponemos exigentes no tenemos más en principio.

En nuestro "modelo" hemos sido capaces de obtener la T e incluso relacionarla con los demás objetos, a su vez modelados con elementos de nuestro modelo... y así.

Entonces podemos recorrer el camino al revés, y este es el camino que impone la física moderna, esto es, podemos decir que tenemos un mundo, osea, una T, y que de él queremos recuperar las trayectorias posibles. Pero para ello necesitamos concretar definitivamente.

Una vez allí arriba y situados decimos que los móviles tienen un estado caracterizado por su posición (un vector) 'x' (respecto a esa "buena" situación que tenemos), y su "momento" ('p'), que es una mezcla de velocidad y masa:

                p   =    m·v (definición)

Con esto del momento matamos dos pájaros de un tiro, ya que incorporamos la masa.

Así que decimos que en nuestro sistema inercial desde el que medimos los estados de las partículas, allá donde nos pongamos da igual, vienen caracterizados por

      [ x  ,  p ]       

Posición y momento.

T expresada en función de p es en este caso

         H = (p^2)/2·m

Se le llama H y añadimos más nombres porque es muy usado. H se refiere a "hamiltoniano" del sistema, una función ajustada a cada sistema y que permite la obtención de su movimiento. En este caso H es la energía cinética nada más. En otros casos ya veremos.

Ahora necesitamos decir cómo cambia, en cada instante, el estado de la partícula, su estado de movimiento [x,p].

Matemáticamente nos basta con decir cómo varían tales dos números. La velocidad, por tanto p, no cambia. Y x sin embargo sí lo hace. Instantáneamente su cambio es la velocidad, que en este caso es constante.

Así que si nos imaginamos un modelo más heterodoxo y apropiado para el continuo, como un continuo construído ya no de puntos sino de microrrectas, el cambio, en un instante mínimo, en el mínimo que podemos considerar, que en este modelo es una microrrecta, el cambio en posición vale siempre lo mismo en cada "punto" de la trayectoria, cambia la misma microrrecta así que globalmente tenemos dicha recta recorrida "homogéneamente".

Denotemos "el cambio" en x respecto al tiempo de la siguiente manera (sólo notación):

    		  x' = dx/dt = v

Notar que la velocidad en nuestro caso es la misma microrrectita en cada punto de la trayectoria, que es recorrida "con la misma velocidad".

Esta notación viene por el "análisis" tradicional, con el concepto de derivada... pero que en nuestro modelo informal pero perfectamente formalizable y más apropiado de las "microrrectas" puede ser visualizado mediante ellas.

Imagínate una trayectoria hecha de microrrectas, unidades indivisibles de magnitud y de dirección. (Notar que esto es un apaño, que no podemos dibujarlas realmente ya que nunca veríamos algo tan pequeño, por más que esté incluso extendido.):

                   - - - - - - - - - - - - - -  

En el caso dibujado todas las microrrectas tienen la misma dirección e incluso la misma magnitud.

O bien este otro

                   _ _   _ _  _ _  _ _  _ _

En este otro caso tenemos la misma longitud "final", "externa", pero microrrectas con diferente "longitud", trayectoria con un "interior" diferente, recorrida con una velocidad mayor.

A velocidades mayores tenemos mayor extensión de esta microcomposición. Así que de entrada podemos pensar:

¿habrá un cierto estado en el que lo exterior y lo interior "colapsen"?

Sabemos que la luz es una constante universal y que es la velocidad límite, de hecho es la velocidad de la de las interacciones "normales". Ocurre que nos pongamos en el sistema inercial que