NumerosPeinesDivisoresDeCero

From ourproject.org wiki
Jump to: navigation, search

Objeto "Números Naturales" N

Hay dos "fenómenos" de la vida diaria que de entrada nos pueden provocar el iniciar y pensar sobre cierto "objeto subjetivo" a estudiar. Además, para hacer esto vamos a intentar poner a relucir más las flechas, las relaciones y los procesos, inspirados por lo que de teoría de categorías conocemos.

Inspirados en el mundo que nos rodea, podemos considerar el tiempo como segundos homogéneamente distribuidos:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{0 &1 &2 &3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 &11 &12 &13}
\end{xy}


O si tomamos como ejemplo el espacio:

podemos poner una piedra tras otra en la playa, más o menos regularmente espaciadas, incluso podemos ponerle esos nombres: 1, 2, 3 ,4, 5 ... etc


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet\\ 
 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 }
\end{xy}


Tenemos entonces una construcción muy intuitiva de los números naturales. Llamemos por de pronto N a este objeto.

Como tenemos ligera noticia de las categorías forcemos ahora lo siguiente: a las mismas piedras que teníamos antes, y a las que habíamos llamado 1,2,3,4, ..., pués escogemos sólo las pares, y las llamamos 2,4,6,... .Digamos que estamos metiendo una parte del objeto N hacia él mismo:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet &\bullet  &\bullet &\bullet  &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet & \\ 
 0\ar[u] & &2\ar[u] & &4\ar[u] & &6\ar[u] }
\end{xy}


Vamos a decir que con esto tenemos una multiflecha -compuesta de muchas "subflechitas"- ¿es esta una representación fructífera de duplicar? Duplicar como cierto proceso a objetivar con estas flechas en una categoría que aún no sé especificar, pero que seguramente tenga que ver con las categorías de álgebras (conmutativas); tiene que ver con "las operaciones". Aunque en cierto modo, además de estar duplicando también ¡nos estamos olvidando! de los números "impares".

Pese a que no hay nada que "cohesione" un punto con el otro, sí que, una vez cogida esa "unidad", tenemos quizá la capacidad de hablar de "cohesión" ¿pero con las flechas? (ideas?) ya no entre los puntos.

Introduzcamos tras esto la aritmética de estos subobjetos, que tiene que ver por ejemplo con el proceso que hacemos los humanos con los días y sus nombres:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet &\bullet &{...}  &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet \\ 
 lunes\ar[u] &martes\ar[u] &{...} &lunes\ar[u] &martes\ar[u] }
\end{xy}


Ya que como sabréis los días pasan y son diferentes pero tienen el mismo nombre "de la semana".

Osea, todas esas piedras son "equivalentes" (lunes, martes...) si el subobjeto siguiente las pincha:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet \\ 
         lunes\ar[u] & & & & & & &lunes\ar[u] }
\end{xy}


Como podéis imaginaros, esta multiflecha que representa en cierto modo el 7 "de una manera global" puede ser desplazada a lo largo de la cadena de bolas subjetiva ("subjetiva" = que no tiene problemas ni complejos por ser infinita).


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet\\ 
      &martes\ar[u] & & & & & & &martes\ar[u] }
\end{xy}


Como vemos, los elementos de N quedan clasificados mediante cómo les pincha el subobjeto, la flecha pincho7, que puede tener una diferente "espaciación".

En matemáticas se dice que "lunes" representa una clase de equivalencia respecto a todas esas posibles formas de pinchar que tiene nuestro incisivo "pincho7". Martes es otra...

Más brevemente, si a los días, a las piedras las numeramos con "0", "1", y así en adelante, decimos que 0 es equivalente a 6 para la forma en actúa pincho7. Y 1 es equivalente al 7.. al 14... que serían todos "martes"...

Tenemos por tanto a N partido en clases de equivalencia que dependen de nuestra multiflecha, de nuestro proceso de anclaje:

La clase del [0]: y se dice "módulo7"

La clase del [1]: módulo7

La clase del [2]: módulo7

La clase del [3]: mod(7)

La clase del [4]: mod(7)

La clase del [5]: mod(7)

La clase del [6]: mod(7)

Y a partir de aquí se repite, como veréis.

Ahora bien, imaginemos una forma de operar con estas flechas, de asignarles cierta "dinámica". Esto lo podemos hacer si pensamos en el simple desplazarse del "peine" por el objeto N. Imaginemos esto por ejemplo el caso del pincho3:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{ 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ 
     \bullet\ar[u] & & &\bullet\ar[u] & & &\bullet\ar[u] }
\end{xy}


Como véis hemos pintado "la clase del 0".

He aquí la del 1:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{ 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ 
     &\bullet\ar[u] & & &\bullet\ar[u] & & &\bullet\ar[u] }
\end{xy}


Este movimiento del peine es cierta operación con la multiflecha.

En matemáticas decimos que las clases de equivalencia se pueden sumar, consideramos a los números "en bloque", pero no se suele pintar lo obvio que es todo esto, lo cual y tras tener constancia de categorías sabemos que no es algo muy didáctico y que a mucha gente le parece antinatural;

          es ser "formales" y oscuros porque sí, por el gusto de serlo. 

Hablando con pincho3 vemos que la clase del 0 sumada a la del 1 nos da la del 1 de nuevo, igual que 0 + 1 = 1 en el caso de los números sin más.

Pero esto hemos visto que es más fácil decirlo con el movimiento de la flecha: si nos encontramos pinchando con pincho3 al 0, un desplazamiento de pincho3 hacia la derecha lleva a la clase del 1.

Si sumamos 1 desplazamiento a 2 desplazamientos nos da el 3, osea, la clase del [3] = la clase del 0 = [0].

Hemos visto que:

   la "parte", el subobjeto [0] visto como multiflecha que pincha al 0, 3, 6,... 
                       lo sumamos al
     subobjeto [1] visto como multiflecha que pincha al 1, 4, 7, ...
                 nos da de nuevo el [1]. (Ideas?)

Así que ¡estamos operando con flechas!

Recread el movimiento en vuestra cabeza con paciencia:

nos acercamos con pincho3 a N; lo colocamos sobre el 0, 3, 6... Ahora lo siguiente: sumamos este movimiento a colocarlo sobre el 1, 4, 7... dos movimientos: [0] + [1] nos dan el "movimiento [1]". Hacerlo con otros: como el [0] es el no movimiento, podemos siempre partir de que ya estamos allí con el peine, clavados sobre el 0, 3, 6,... ya que [0] más [x] es siempre [x]; ahora muévete primero con [2], luego otra vez con [2]... da [4], claro, que es [1], la misma situación de pinchado, el mismo subobjeto.

No sé si os daréis cuenta de que ocurre una cosa "curiosa": para mover el peine y recobrar la misma situación necesitamos que no tenga límites por la izquierda, para que no se queden elementos sin pinchar. Lo estamos haciendo algo informal quizá pues no decimos cómo tratar ese problema. Aunque en la vida real con el caso del tiempo quizá no se trate de ningún problema conceptual. Total, los segundos, las unidades de medida tiempo pasan y no vuelven. Esto podría ser una observación importante, por qué no.

Pero de todos modos...:

¡Primer objetivo semiconcluido!

Hemos visto que podemos conceptualizar el movimiento "en lo subjetivo" como cierta operación con flechas:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet\ar[r]^{[0]_3} &N }
\end{xy}


Algo muy categorial: estamos viendo cierta entidad como un proceso. Nuestro ente en cuestión es un modo de reflejar algo en algún sitio, es un modo de "relacionar". Y además estamos comprobando que estos procesos ya de por sí "dinámicos" tienen una dinámica: se suman o multiplican y ¡tienen una estructura! Como vamos a ver.

[0] con subíndice 3 quiere decir la clase del 0 para pincho3.

Ahora fijarse qué de cosas están pintadas y sobreentendidas en la "fórmula" anterior. ¿El punto qué es? Si os dáis cuenta con ella queremos decir nada menos que un proceso: cómo pincha don "pincho3" en el N, así que eso, ¿qué es el punto gordote ese? ¿Da igual? Podemos decir que es el N ensanchado, como ya lo hemos pintado... o incluso una "aplicación parcial" (cosa usada por cierto en teoría de la computación), esto es, una aplicación que sólo llevara a algunos de los puntos de N a sus imágenes:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{ 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ 
     \bullet\ar[u] &\bullet &\bullet &\bullet\ar[u] &\bullet &\bullet &\bullet\ar[u] }
\end{xy}


Pero por ahora quedémonos con esa idea de los "subobjetos" "contenidos" en cierto modo en N. Seguramente ello nos obliga a dar preponderancia a las flechas.

De hecho N podemos verlo como el proceso siguiente:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{ N\ar[r]^{id} &N }
\end{xy}


Donde la flecha es el pincho1. ¡La identidad! No parece que vayamos muy mal.

Estas flechas:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet\ar[r]^{[0]_3} &N }
\end{xy}


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet\ar[r]^{[1]_3} &N }
\end{xy}


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet\ar[r]^{[2]_3} &N }
\end{xy}


Podemos sumarlas. Por ejemplo:

#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet\ar[r]^{[2]_3} &N }
\end{xy}
+ 
#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet\ar[r]^{[2]_3} &N }
\end{xy}
= 
#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet\ar[r]^{[1]_3} &N }
\end{xy}


Esto es, [2] + [2] = [4] = [1] todo ello mod(3). Pensarlo con desplazamientos, no decimos nada raro, ya que 2 + 2 = 4 desplazamientos de la flecha pincho3 a partir del 0 nos da el 1, toda su "clase de equivalencia".

Ahora observar (o "recordar") una cosa: nos da igual desplazarnos un lado a la derecha y luego 2 que hacer primero 2 y luego 1. Esto es, la suma es conmutativa.

También es asociativa : (2 + 2) + 1 = 2 + (2 + 1), osea , 4 + 1 = 2 + 3, también en el caso de estas clases de equivalencia. La clase del 0 (que es la del 3) funciona como neutro para la suma, es la que representa el "no movimiento", por ejemplo 1 + 3 = 4 = 1 (pensando de nuevo en clases mod(pincho3)). Y más aún, todo elemento, por ejemplo el 2, tiene otro relacionado con él y que es tal que si lo sumamos nos da de nuevo la ausencia de movimiento, el 0. ¿Cuál es?

El 1 claro. 2 + 1 = 3, que es la clase del 0.

Esto en matemáticas se llama grupo conmutativo (o abeliano, como gustéis).

Ahora bien, ¿podemos pensar en multiplicar? Pues por qué no, multiplicar es sumar repetidas veces... Así que ¡vamos a multiplicar flechas!

Sea la flecha

#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet\ar[r]^{[2]_3} &N }
\end{xy}

, pensemos como si la desplazáramos por ejemplo 3 veces a la derecha, 2 por 3 = 6, que es un punto equivalente al 0. Así que el 0 funciona como una especie de "anulador" del movimiento. Ya no sólo es en sí el movimiento nulo, sino que operacionalmente se empeña en anular todo movimiento. (Ideas????)

¿Qué será multiplicar por la flecha 1(mod3)? Pues pongamos lo lógico: una vez la flecha

#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet\ar[r]^{[2]_3} &N }
\end{xy}
será ella misma.

Osea, [1] * [2] = [1*2] = [2]

La clase [1] es el neutro para la operación de multiplicación. Hay una flecha neutra.

Recordar por ejemplo los números enteros{...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}:

Estos números tienen también una operación de multiplicación y el 1 es el neutro para la multiplicación. Para la suma el neutro es también es el cero.

Pero así como en los enteros sí existe el opuesto de cada número, su negativo, no existe sin embargo el inverso para la multiplicación: el inverso de 3 es 1/3 que no pertenece a dicho sistema numérico.

¿Pero qué ocurre a este respecto en nuestras flechas, con pincho3?

Recordemos, el [1] es el neutro y veamos.

El inverso de [1] es él mismo.

El de [0] no podemos pedirlo, pues es la nulidad en cuanto al movimiento, nunca se puede "multiplicar" para dar el [1].

El de [2] es... el [2]! ya que [4] = [1] (pensar obviamente todo esto con los desplazamientos lo hace muy fácil.)

¡Así que todos menos el neutro para la suma tienen su inverso para la multiplicación!

¡Esto va a ser lo que en matemáticas se llama Cuerpo! Ya que tenemos también inverso para la multiplicación y que se cumple la propiedad distributiva (es anillo).

Nuestras tres flechas -que son las tres maneras en que pincho3 se mete e N- son un cuerpo. ¿Pues qué bien no? diréis...

Pues sí. ¿Pero ocurrirá esto con pincho4? ([email protected] ya sabréis la respuesta, pero nuestro objeto es crear ciertos "conceptos" para ver por qué se rompe esta "simetría".)

Pincho4 son estas 4 flechas: {[0], [1], [2], [3]}.

En este caso también el [0] es el neutro de "+" y el [1] el de "*".

Pero veamos:

[2] * [3] = [3] * [2] = [6] = [2]

[2] * [2] = [0]

[3] * [3] = [9] = [1]

El [2] no hay modo, no tiene inverso para la multiplicación. Algo se ha roto. ¡Y es precisamente el que 4 no es un número primo!

Fijarse, 4 no es un número primo lleva a que las clases pincho4 no sean un cuerpo, se pierde la estructura entre ellas, cierta simetría. Además existe una flecha como la [2], que para la multiplicación, para la suma repetida, hace que el movimiento colapse, nos de 0 ¡Existen los divisores del 0! (Ay qué cosa más rara ¿no?) :) .

Esto no ocurre para ningún primo, ya que no podemos componer los movimientos de ningún peine de forma que sumado dicho peine las veces que sean conseguiremos llegar a la clase del [0]. E

Mire el dibujo en el caso de pincho4, de la flecha [2], la clase del 2:


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{ 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ 
   & &\bullet\ar[u] & & & &\bullet\ar[u] }
\end{xy}


y multiplicando por dos la flecha, osea, desplazando dos veces esos "[2]" desplazamientos conseguimos la clase del 0, osea [0] (=[4]).

Qué fácil es con los desplazamientos y qué difícil es si los perdemos de vista a veces.


Notas

1.- ¿Qué hacer con otro modo de ver que tenemos para N, el de un conjunto ordenado?

2.- Respecto a los divisores de cero. Fijarse que nos los hemos encontrado cuando nos hemos puesto a analizar estas cosas sencillas y considerándolas además como procesos.

En física mucha gente lleva mucho tiempo quejándose del uso monolítico de los números reales como conjunto de meras posiciones puras. Si os paráis a pensar, como un número real tiene infinitos decimales podemos decir que en cierto modo es un proceso. Por ejemplo este proceso es en concreto muy predecible:

1'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000........ y así seguidamente, esto es: 1;0-período.

Decimos que "es el 1 para los números reales". Pero:

¡Jamás nadie ni mucho menos una calculadora ha operado o puede operar con el "número 1 en los números reales"! Por tanto el submundo de los infinitos decimales es algo que queda sin concretar, ¿un proceso? Por qué no. ¿Algo con incertidumbre? Por qué no. Al igual que ocurre en la famosa mecánica cuántica (por algo nuestros cerebros son también en cierto sentido cuánticos (recuerdo aquí que todo es cuántico, para los [email protected]))

De hecho sabemos que existen unidades fundamentales, pequeñísimas, en el universo, de tiempo, distancia...

Así que ¿por qué no vamos a admitir modelos de nuestros números reales en donde existan números infinitesimales 'u', esto es, divisores de cero tales que u * u = 0? Existen infinitos modelos para ellos, de hecho, antes de ver que había tantos modelos y de verlo tan claro con teoría de categorías, estos infinitesimales son lo que intuitivamente usaron físicos y matemáticos (era lo mismo) durante mucho tiempo; se dice que dio mucho quebradero de cabeza hasta la formalización de Cauchy con límites epsilon-delta del cálculo, ya que de hecho algunos se equivocaban manejándolos, pero son algo ya recuperado y que simplifica el cálculo y su didáctica. Estamos diciendo algo que es obvio desde hace tiempo, existe una versión muy útil y muy bella del cálculo y por tanto es la que hay que dar primero, también es la que apareció primero. No hay ningún motivo para oscurecer las mentes de los adolescentes si no quieren, de hecho y al final estos infinitesimales se usan a placer en las aplicaciones.

Mirar esto si apetece, sobre el tema: An Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis: http://publish.uwo.ca/~jbell/invitation%20to%20SIA.pdf

Recordemos por qué hablamos de ello. Resulta que ha sido viendo las operaciones, deslizamientos -con aquellos subobjetos/procesos que se introducían en N- como hemos llegado a ver que puede haber entidades que multiplicadas den 0. Así que ya tenemos en cierto modo una de las maneras de abrir la veda para buscar el sentido de los infinitesimales en R.

De hecho es contraproducente ver nuestro objeto sólo como algo que muestra la realidad palpable de unas piedras, segundos... Recordemos que hay unidades muy pequeñas que hacen que casi "quepan infinitas" de ellas en lo que para nosotros es ya ahora bastante pequeño.

Ahora bien, mirad si acaso el comienzo de la traducción del artículo al que me refiero ahí arriba:

" En el desarrollo usual del cálculo, para cualquier función diferenciable f en la línea real R, y = f(x), se sigue del teorema de Taylor que el incremento dy=f(x + dx) - f(x) en y respecto a cierto incremento dx en la variable x queda determinado por una ecuación de la forma:

      dy = f'(x)dx + A(dx)^2               (1)

Donde f'(x) es la derivada de f(x) y A es una cantidad cuyo valor depende de x y de dx. Ahora bien, si fuera posible elegir dx tan pequeño (pero no cero) tal que (dx)^2 = 0 entonces (1) sería

      f(x+dx) - f(x) = dy = f'(x)dx    (2)

Llamaremos infinitesimal a las cantidades tales que sus cuadrados sean cero. En el análisis infinitesimal suave (AIS) hay suficientes infinitesimales como para asegurar el que la ecuación (2) se cumpla de forma no trivial para funciones arbitrarias f: R --> R (Desde luego que (2) se cumple trivialmente en el análisis matemático estándard puesto que el 0 es el único infinitesimal en este sentido.) El significado de "no trivial" aquí se puede explicar de la siguiente manera. Si reemplazamos dx por la letra € queriendo decir un infinitesimal arbitrario, (2) toma la forma

       f(x + €) - f(x) = € f '(x)          (3)

De forma ideal, queremos que esta ecuación sea válida independientemente de €, esto es, que dado x se cumpla para todo infinitesimal €. En ese caso la derivada f'(x) puede definirse como la única cantidad D tal que la siguiente ecuación se cumpla para todo €

       f(x + €) - f(x) = € D

Eligiendo x = 0 en esta ecuación, tenemos en particular que

       f(€) = f(0) + € D .     (4)

Es esta la ecuación que se toma como axioma en el AIS Permítenos además llamar ø al conjunto de los infinitesimales, esto es,

       ø = {x: x está en R y x^2 = 0}.

Entonces se dice que para cada f: ø --> R existe una única D en R tal que la ecuación (4) se cumple para todo €. Esto quiere decir que la gráfica de f es una línea recta que pasa a través del punto (0, f(0)) con pendiente D. Así que cualquier función sobre ø es lo que los matemáticos llaman afín, y este postulado es llama con naturalidad el principio de afinidad infinitesimal, o "microrrectitud". Significa que ø no puede ser doblado o roto: sólo rotado o trasladado -y no es, como lo sería para el análisis ordinario, un punto. ø puede ser pensado como una entidad con posición y cierta "actitud", "direccionalidad", pero sin extensión.

Si pensamos una función y = f(x) como definidora de una curva, entonces para todo a, la imagen por f del "intervalo infinitesimal" ø + a obtenido llevando ø sobre a es una recta y coincide con la tangente a la curva en x = a. En este sentido cada curva es "infinitesimalmente recta". Está compuesta de pequeñas microrrectitas.