IdealIdeas

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Ideal en Z, ideales primos, peines

Intentaremos dar algunas ideas, pensar con flechas el concepto de ideal en matemáticas, partiendo de Z, los enteros, y en cierta manera usando las ideas que esbozamos o intentamos esbozar en PreNatalMatUno.

Directamente:

aquí tienen ustedes dos ideales representados sobre Z, insertándose en Z.

Recuerden, estamos en matemáticas y son objetos subjetivos, decidimos que existe aquello del infinito...


#!latex
\begin{xy}
\xymatrix{\bullet &\bullet  &\bullet &\bullet  &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet &\bullet & \\ 
&0\ar[u] &1\ar[u] &2\ar[u]  &3\ar[u] &4\ar[u] &5\ar[u] &6\ar[u] &7\ar[u]  &8\ar[u]\\
&0\ar[u] & &2\ar[u] & &4\ar[u] & &6\ar[u] &  &\ar[u]\\
&0\ar[u] & & &3\ar[u] & & &6\ar[u] &  &  }
\end{xy}


En esta figura los números enteros Z son visualizados como cierto proceso de inserción, y también y en cierta forma dependiendo de ellos vemos a

-los números pares (un ideal generado por el 2, se dice) y a

-los múltiplos de 3.

¿Qué hay de nuevo ahora respecto al cuento de PreNatalMatUno?

De entrada que la multiflecha no puede trasladarse una unidad hacia la derecha o la izquierda, pues ahora para nosotros dicha flecha es el ideal, como el proceso de insertarse, como forma de referirnos de una vez a todos esos "números" que forman el ideal, ideal que es en realidad esa multiflecha.

Como vemos, el ideal que podemos construir con la operación interna a Z y con el 3 es:

3 * -1 = -3

3 * 1 = 3

3 * -2 = 6

3 * 2 = -6

3 * -3 = -9

3 * 3 = 9

...

Que se simplifica si lo decimos con nuestra flecha infinita más cierta operación que más bien no parece una operación:

En el caso del (3) (ideal del 3) multiplicar la flecha por ejemplo por 2 quiere decir trasladarla en bloque 2 * 3 = 6 unidades. Para nuestra flecha ¡sólo existe el mundo del 3!

No la podemos distinguir, de hecho es la misma: todos los números son neutros operando sobre los ideales, sobre estas flechas tan cabezotas.

Son en cierto modo las diferentes posibles elecciones de escala que tenemos una vez hemos elegido la unidad.

Así que tenemos a Z pinchado de infinitas maneras, que tienen diferentes propiedades: hay por ejemplo ideales primos, que son en los que no cabe otra multiflecha, no encaja.

Imagínense todos los múltiplos de 4: podemos apuntar a ellos con la multiflecha correspondiente y observar que cabe el ideal (2): encaja dos veces, debido a que 2 * 2 = 4.

Según ascendemos: el 4, 5, 6, 7, ... encontramos más y más primos, hay infinitos. Siempre encontramos un ideal en el que no encaja ningún ideal anterior.

Tenemos que ver qué significa ese encajarse. Es fácil, todas las púas del ideal (4) están en el ideal (2). Así que si pensamos a estas multiflechas como multipuntos, en definitiva, como otro tipo de punto en un espacio, vemos por qué podemos decir que estos peines son diferentes puntos: según ascendemos nos encontramos siempre con la necesidad de añadir peines y más peines, por sorpresa siempre aparece un nuevo "creador" de .

Por ejemplo, hay púas en el ideal (5) como la que apunta hacia el número 10, que también está en el ideal (2), la siguiente es la que apunta al nº 20.

Notas para seguir, ¿quiénes somos, a dónde vamos y ... ?

Querría ver si nos podría salir algún tipo de charla más conceptual mezclando los siguientes ingredientes:

1.- Los peines de los que hemos hablado en su versión para ideales. A partir de ahora peine va a querer decir ideal primo, a no ser que lo adjetivemos.

2.- Trasladar la definición del Espectro de un anillo con la topología de Zariski que por ejemplo se hace en el libro de Atiyah de álgebra conmutativa. Allí se define, para todo subconjunto E de un anillo A cualquiera, un conjunto V(E) que son los ideales primos que contienen a dicho subconjunto, en nuestro lenguaje, imaginando un conjunto E de bolas del anillo Z de los números enteros, sería todos los peines que tocan las pelotillas que están dentro de E. Resulta que estos V(E) cumplen los axiomas de los cerrados para una topología, la que llaman de Zariski. Es una topología entonces al parecer muy ligada y natural para con el concepto de primo.

3.- Recordar ahora por ejemplo la recta real con la topología normal y que los puntos en tal espacio son cerrados. Entonces, volviendo a Z, me imagino que si por ejemplo tenemos el número 2 el cerrado V(2) es el conjunto de los ideales primos (peines) que lo toquen: el (2). De entre todas las escalas/peines que podríamos coger sólo esa lo toca. ¿Qué pasa si tenemos el 2 y el 3: {2, 3}? ¿Verdad que no hay ningún ideal primo que contenga ambos números a la vez? Sin embargo si cogemos el conjunto {2, 6} hay dos ideales primos que lo contienen, el (2) y el (3). Los dos puntos pueden estar combinados en dos diferentes escalas o peines.

4.- Me gustaría entonces mezclar esto con el concepto de "conjuntos abiertos de un espacio topológico como valores de verdad", que viene de la teoría de los topos. La topología al parecer es el conjunto de los valores de verdad. Quizá sirviera para divulgar fácilmente el pensar la topología así, con un estilo más categorial. Fijarse que los abiertos aquí son quizá del estilo de los de la topología usual de R, ya que decimos que si tenemos el número 2, como el conjunto de los peines (sólo el (2)) que lo contienen es un cerrado en dicha topología, el abierto es el complementario, el resto de todas las demás escalas. Esto quizá sirviera para pensar la cuantización, el paso al continuo... y demás.