\section{Definição}

  Um espaço topológico é um conjunto $X$, munido de uma métrica
  $\function{d}{X \times X}{\nonnegativereals}$. A métrica faz com que
  esteja definida uma noção de \emph{distância} entre os pontos
  de $X$.

  \begin{definition}[Métrica]
    \label{def:metrica}
    \label{def:espaco_metrico}

    Seja $X$ um conjunto qualquer. Uma \emph{métrica} definida sobre $X$ é
    uma função
    \begin{equation*}
      \functionarray{d}{X \times X}{\nonnegativereals}{(x,y)}{d(x,y)}
    \end{equation*}
    que, para todo $x,y,z \in X$, satisfaz
    \begin{enumerate}
      \item
        \label{it:def:metrica:mesmo_elemento}
        $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$.

      \item
        \label{it:def:metrica:simetria}
        $d(x,y) = d(y,x)$.

      \item
        \label{it:def:metrica:desigualdade_triangular}
        $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$. \quad (desigualdade triangular)
    \end{enumerate}

    Dizemos que $(X, d)$ é um \emph{espaço métrico}.
    Em geral, por um abuso de linguagem,
    quando a métrica $d$ está subentendida,
    dizemos que $X$ é um espaço métrico.
  \end{definition}

  Em $\reals^n$, a métrica usualmente adotada é a métrica euclidiana, dada
  por
  \begin{equation}
    d(x,y) = \sum_{j=1}^n \abs{x_j - y_j}^2.
  \end{equation}
  Onde $x = (x_1, \dotsc, x_n)$ e $y = (y_1, \dotsc, y_n)$.

  Em várias situações, o item \refitem{it:def:metrica:mesmo_elemento}
  da definição de métrica, nos permitirá concluir
  que dois pontos $x,y \in X$ são de fato o mesmo ponto.
  Basta mostrar que $d(x,y) = 0$.
  O item \refitem{it:def:metrica:desigualdade_triangular} é o mais
  importante da definição. É este item que abstrai a idéia de que a
  distância entre dois pontos está intimamente relacionada com o
  ``menor caminho'' entre dois pontos:
  \begin{quotation}
    Se existe um caminho $A$, partindo de $x$ e indo para $y$, e um caminho $B$,
    partindo de $y$ e indo para $z$,
    então, a menor distância (ou o ínfimo dos comprimentos dos caminhos
    partindo de $x$ e indo para $z$) não é maior do que a soma
    dos comprimentos de $A$ e $B$.
    (figura \ref{fig:desigualdade_triangular})
  \end{quotation}

  \begin{figure}[!htp]
    \begin{center}
      \includegraphics[height=5cm]{figs/path_x_to_y_to_z}
    \end{center}
    \caption{Desigualdade triangular: $C \leq A + B$.}

    \label{fig:desigualdade_triangular}
  \end{figure}



  \begin{definition}[Bola]
    \label{def:bola}

    Seja $(X,d)$ um espaço métrico, $x \in X$ e $\varepsilon > 0$.
    A \emph{bola} de centro $x$ e raio $\varepsilon$ é o conjunto
    de todos os pontos que distam menos que $\varepsilon$ de $x$:
    \begin{equation*}
      \ball{\varepsilon}{x} = \{ y \in X \suchthat d(x,y) < \varepsilon \}.
    \end{equation*}
  \end{definition}

  \begin{figure}[!htp]
    \begin{center}
      \includegraphics[height=5cm]{figs/ball}
    \end{center}
    \caption{A bola de centro $x$ e raio $\varepsilon$.}

    \label{fig:ball}
  \end{figure}